Reconstruire la formule générale de la dérivée par l'exemple

La formule générale de la dérivée vous est souvent donnée sous la forme :

\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\]

Certains cours manquent de contexte ou passent trop rapidement sur la définition de cette formule. Certains élèves ont des difficultés pour retenir cette formule tant elle leur est abstraite. La meilleure méthode pour s'en souvenir c'est ... de ne pas s'en souvenir. Aussi paradoxal que ce soit, se souvenir "bêtement" d'une formule par cœur sans contexte n'a que peu d'intérêt. On ne comprend pas les principes intrinsèques à sa construction et, à terme, on est voué à l'oublier. Non, la meilleure des méthodes est d'en comprendre la construction. Si nous comprenons un concept, il nous est plus facile d'en tirer une modélisation, une forme de reconstruction par la logique.

Pour ce faire, je propose un scénario simple : Calculer l'accélération d'un avion en vol à un moment donné.

Variation de vitesse

Pour rappel, en physique et en mathématiques, on utilise couramment la lettre grecque delta $\Delta$ pour exprimer une variation. Une variation quant à elle, désigne le changement entre deux états d'une même mesure.

On parle de variation absolue pour exprimer la différence brute entre une valeur finale et une valeur initiale :

\[\Delta X = X_{finale} - X_{initiale}\]

Autrement dit, $\Delta X$ est la différence entre l'état final et l'état initial.

Reprenons notre exemple de variation de vitesse en vol. Nous voulons connaître les changements de vitesse pendant notre vol. Nous voulons donc calculer $\Delta v$.

\[\Delta v = v_{finale} - v_{initiale}\]

Si $\Delta v > 0$ : La vitesse finale est supérieure à la vitesse initiale. Nous accélérons.
Si $\Delta v < 0$ : La vitesse finale est inférieure à la vitesse initiale. Nous ralentissons.
Si $\Delta v = 0$ : La vitesse finale est égale à la vitesse initiale. Notre vitesse est constante.

Très bien nous avançons, mais d'ores et déjà se pose la question de ce que représentent la vitesse initiale et finale ? Sans notion de temps, on peut considérer :

La vitesse initiale comme étant la première mesure de vitesse, probablement 0, l'avion est cloué au sol, garé dans son aérogare.
La vitesse finale comme étant la dernière mesure de vitesse, probablement 0, l'avion est cloué au sol, garé dans son aérogare.

$\Delta v = 0$ dans tous les cas ...

Variation de vitesse ... dans le temps

Il est nécessaire d'introduire le paramètre temporel et compléter la notion de variation en l'appelant "Variation par rapport au temps".

La variation par rapport au temps exprime la manière dont une quantité évolue à mesure que le temps défile. Autrement dit dans notre exemple, quelle est la variation de vitesse pendant une période de temps. Grâce à ce nouveau paramètre, nous pouvons faire varier l'intervalle temps pour ne plus se borner à la mesure initiale et finale.

Ainsi, si je veux la variation de vitesse entre la minute 5 et la minute 10 de vol, je note :

\[\frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{10min} - v_{5min}}{10_{min} - 5_{min}}\]

Par exemple, si j'ai sur l'intervalle $5_{min}$ à $10_{min}$ :

$v_{5min} = 125 km/h$
$v_{10min} = 150 km/h$

Alors ma vitesse a augmenté de $25km/h$.

Ma variation de vitesse $\Delta v$ entre $5_{min}$ à $10_{min}$ est de $+25km/h$.

Taux d'accroissement

De manière plus générale, on note :

\[\frac{\Delta X}{\Delta t} = \frac{X(t_{2}) - X(t_{1})}{t_{2} - t_{1}}\]

C'est ce qu'on appelle souvent le taux d'accroissement. On regarde la différence entre deux moments précis ($t_{1}$ et $t_{2}$).

Considérons à nouveau notre vol. Au cours de celui-ci, j'ai relevé la vitesse en $km/h$ à différents instants. Par ailleurs, j'ai arrêté d'accélérer à $15min$ pour préparer mon atterrissage. Les résultats obtenus sont les suivants :

Temps $t$ (min)	Vitesse $v$ (km/h)
0	0
3	87
6	125
9	160
12	185
15	200
18	186
21	155
24	120
27	60
30	0

Dans le monde physique, à pression atmosphérique normale (sur Terre donc) et sans contraintes anormales (pas de mur soudain sur sa trajectoire), la vitesse d'un objet varie de façon continue. Elle change progressivement, jamais instantanément. Ainsi si la vitesse à $3_{min}$ est de $87 km/h$ et celle à $6_{min}$ est de $125 km/h$, j'extrapole la vitesse intermédiaire (disons $102km/h$), et ce, de manière infinitésimale pour tracer une courbe qui représente la vitesse (en abscisse) et le temps (en ordonnée).

Pour les besoins de la démonstration, c'est une fonction quadratique sur l'intervalle $[0,30]$ et peut s'écrire comme suit :

\[v(x) = \frac{200}{225}\, x (30 - x), \quad x \in [0,30]\]

Sa représentation visuelle est la suivante :

Rappelons-nous que j'ai arrêté d'accélérer à très exactement $15_{min}$ pour préparer mon atterrissage.

On peut donc représenter ce qu'on appelle un tableau de variation :

\[\begin{array}{c|ccc} x & 0 & 15 & 30 \\ \hline \Delta v & >0 (+) & 0 & <0 (-) \\ \end{array}\]

De $0_{min}$ à $15_{min}$, $\Delta v > 0$, j'accélère
À $15_{min}$ mon accélération est nulle. Cette nullité est instantanée, conformément à la définition d'un maximum local pour notre fonction.
De $15_{min}$ à $30_{min}$, $\Delta v < 0$, je décélère.

Je veux maintenant, calculer la variation de vitesse aux mesures $5_{min}$ et $10_{min}$. Je sais, grâce au tableau de variation de la fonction et à la représentation visuelle ci-dessous, que j'étais en phase d'accélération. Oui mais de combien ?

Soit $A$ la mesure à $5_{min}$
Soit $B$ la mesure à $10_{min}$

Pour rappel la fonction est : $$v(x) = \frac{200}{225} x (30-x)$$

À $5_{min}$ :

\[\begin{aligned} v(5) &= \frac{200}{225} \cdot 5 \cdot (30-5) \\ &= \frac{200}{225} \cdot 125 \\ &= \frac{25000}{225} \approx 111,11\ \text{km/h} \end{aligned}\]

À $10_{min}$ :

\[\begin{aligned} v(10) &= \frac{200}{225} \cdot 10 \cdot (30-10) \\ &= \frac{200}{225} \cdot 200 \\ &= \frac{40000}{225} \approx 177,78\ \text{km/h} \end{aligned}\]

La variation entre $5_{min}$ et $10_{min}$ est donc :

\[\Delta v = v(10) - v(5) \approx 177,78 - 111,11 \approx 66,67\ \text{km/h}\]

Autrement dit, entre $5_{min}$ et $10_{min}$ j'ai augmenté ma vitesse de $66,67km/h$. Mais peut-on dire que mon accélération est de $66,67km/h$ sur l'intervalle $[5,10]$ ?

Non, on ne peut pas, car l'accélération est une variation de vitesse par unité de temps, et non une variation de vitesse seule. On ne peut que représenter l'accélération moyenne sur l'intervalle 5min :

\[a_{\mathrm{moy}} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{66,67\ \text{km/h}}{5\ \text{min}}\]

Reprenons la formule du taux d'accroissement que nous avons construite précédemment :

\[\frac{\Delta X}{\Delta t} = \frac{X(t_{2}) - X(t_{1})}{t_{2} - t_{1}}\]

Pour rappel, $X(t)$ représente la mesure au moment $t$.

Remplaçons $X$ par notre vraie fonction $v(x) = \frac{200}{225} x (30-x)$ :

Le taux d'accroissement de notre fonction est :

\[\frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v(t_2)-v(t_1)}{t_2-t_1} = \frac{v(10)-v(5)}{10-5} = \frac{66,67}{5}\]

C'est le taux d'accroissement moyen sur 5 minutes.

Je veux maintenant calculer le taux d'accroissement instantané, la variation de vitesse à un instant précis, ce qui correspond à l'accélération instantanée (ou mathématiquement, à la dérivée, oui on y arrive !).

Taux d'accroissement instantané ou dérivée

De 5 minutes à 10 minutes, je peux calculer la moyenne d'accélération en comparant les 2 vitesses. Mais à un moment instantané, si je prends une photo de l'instant (disons $t$ = 3 minutes, 12 secondes, 155 millisecondes ... etc), je peux connaître ma position mais pas ma vitesse ni mon accélération puisque relatives au temps, qui lui, est figé. Mon avion, sur une photo, n'a pas de vitesse. La vitesse et l'accélération sont dérivées du temps.

C'est d'ailleurs pour cela qu'on parle de $km/h$ pour l'unité de vitesse et de $km/h^2$ (ou plutôt $m/s^2$) pour l'accélération. Ces valeurs n'ont de sens que dans un intervalle de temps.

Pour obtenir une vitesse et, dans notre exemple, une accélération en un instant $t$, il faut que l'intervalle de temps de la mesure soit le plus petit possible.

Dans notre représentation visuelle, $A$ et $B$ doivent être très proches pour avoir un instantané de l'accélération :

Ainsi si les coordonnées des points sont $A(a,v(a))$ et $B(a+h,v(a+h))$, $h$ représente le "décalage" dans le temps de $A$ à $B$, une variation infinitésimale ou plus simplement une différence de pas entre les deux points sur l'axe des abscisses.

Plus $h$ est faible alors plus $B$ se rapproche de $A$ et donc plus le taux d'accroissement entre ces deux points va représenter le taux d'accroissement instantané. Faisons donc varier $h$ pour le faire tendre vers $0$ :

\[\lim_{h \to 0} \frac{v(a+h) - v(a)}{(a+h)-a} = \lim_{h \to 0} \frac{v(a+h) - v(a)}{h}\]

En partant d'une variation de vitesse, puis du taux d'accroissement sur un intervalle, nous venons de retrouver la formule générale de la dérivée :

\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{(a+h)-a} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\]